Потрійний інтеграл у циліндричних і сферичних координатах

Декартова система координат є не завжди зручною. Тому поряд із декартовою використовують і інші системи координат, найбільш поширеними серед яких являються циліндрична і сферична.

Координатними поверхнями циліндричної системи являються циліндр r = const та двох площин j = const і z = const, тобто вона є об’єднанням полярної системи на площині ХОУ і декартової в напрямку осі OZ . Циліндрична система координат (r, φ, z) і декартова система (x, y, z) пов’язані співвідношеннями:

, (3.6)

де 0 £ r < + ¥, 0 £ j £ 2p, - ¥ < z < + ¥.

Положення точки М задається полярними координатами r і φ (її проекція М₁ на площину ХОУ ) та аплікатою z (Рис. 19).

Для того, щоб знайти елементи об'єму в циліндричних координатах, проводимо нескінченно близькі сім’ї кругових циліндрів r = const, що мають вісь OZ як вісь обертання (Рис. 20).

Поверхні z = const – це площини паралельні ХОУ, а поверхні φ = const – напівплощини, що проходять через вісь OZ.

Рис. 19

Рис. 20

Через малість елемента dv, знехтуємо криволінійними скривленнями і приймемо його за прямокутний паралелепіпед зі сторонами ML = dr, MК = rdφ, MN = dz знайдемо:

.

Підставивши елемент об'єму в потрійний інтеграл, отримаємо:

(3.7)

Приклад. Обчислити потрійний інтеграл , областю визначення якого є круговий циліндр з висотою h = 3 і радіусом r = 1.

Розв’язання.

= = = = =

= = = .

Координатними поверхнями сферичної системи є сфера r = const , площина j = const, і конус q = const. Сферична система координат (r, φ, q) і декартова системи (x, y, z) пов’язані співвідношеннями:

, (3.6)

де 0 £ r < , 0£ φ £ 2p, 0 £ q £ p.

Положення точки М задається її відстанню r від початку координат, полярним кутом φ проекції М₁ на ХОУ та кутом q між віссю OZ і радіусом-вектором ОМ (Рис. 21). Цей останній кут відлічується від позитивного напрямку осі OZ .

Рис. 21

Для того, щоб знайти елемент об'єму в сферичних координатах, проводимо нескінченно близькі поверхні сімей r = const (сфери), q = const (конічні поверхні з вершиною на початку координат), φ = const (напівплощини, що проходять через вісь OZ) (Рис. 22).

Рис. 22

Візьмемо один з елементів, обмежений сферами радіусів ОК = r і ОМ = r + dr, конусами з кутами при вешині q і q + dq та напівплощинами, проведеними через OZ, сліди яких у площині ХОУ мають полярні кути φ і φ + dφ. Як і раніше знехтуємо криволінійними скривленнями і через малість елемента dv розглянемо його як прямокутний паралелепіпед зі сторонами MK = dr, ML = r dq, MN = rsinqdφ, знайдемо:

.

Підставивши елемент об'єму в потрійний інтеграл, отримаємо:

(3.8)

Приклад. Обчислити інтеграл ,

де R – куля

Розв’язання. У даному випадку зручніше перейти до сферичних координат:

, , .

= =

= .